Một số tính chất quan trọng của đồng
dư thức nè :
a đồng dư b ( mod c ) thì a + n đồng dư b + n ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì an đồng dư bn ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì a^n đồng dư b^n ( mod c )
Mấy tính chất này xài rất nhiều và cũng rất dễ dàng chứng minh bằng hằng đẳng
thức , hoặc bằng các tính chất toán học thông thường để làm .
Tui xin chứng minh các tính chất trên :
a đồng dư b ( mod c ) <=> a + n đồng dư b + n ( mod c )
Đầu tiên ta phải chứng minh a đồng dư b => a + n đồng dư b + n ( mod c )
Dựa vào định lý a đồng dư b <=> a - b chia hết c
suy ra a - b + n - n chia hết c
suy ra a + n - b - n chia hết c
suy ra a + n - ( b + n ) chia hết c
suy ra a + n đồng dư b + n ( mod c ) ( * )
Ta tiếp tục phải chứng minh a + n đồng dư b + n ( mod c ) => a đồng dư b (
mod c)
Từ a + n đồng dư b + n ( mod c ) suy ra a + n - ( b + n ) chia hết c
Suy ra a + n - b - n chia hết c
suy ra a - b chia hết c
suy ra a đồng dư b ( mod c ) ( ** )
Từ ( *) và (**) ta suy ra a đồng dư b ( mod c ) <=> a + n đồng dư b + n (
mod
Còn về phần của bạn pokemon master ,
sau đây anh sẽ chỉ em cách làm bài toán thống kê bằng máy tính fx-500MS .
Đầu tiên , ta ấn phím Mode , bấm tiếp phím 2 ( SD ) để gọi chương trình thống
kê .
Sau đó ta lần lượt điền các giá trị của x và các giá trị của tần số tương ứng
với x đó như sau :
Ví dụ bảng thống kê sau :
Điểm số ( x ) : 2 3 6 7
Tần số ( n ) : 3 5 7 8
Quy trình bấm phím để giải bài toán này như sau :
2 shift , ( ; ) 3 M+ ( DT )
3 shift , ( ; ) 5 M+ ( DT )
6 shift , ( ; ) 7 M+ ( DT )
7 shift , ( ; ) 8 M+ ( DT )
Quy trình trên là ta lần lượt nhập các số liệu của cột x và các số liệu của cột
n . Tức là ta phải bấm giá trị a nào đó ( nằm ở cột x ) rồi bấm tiếp phím shift
và phím , ( để gọi dấu ; ) rồi bấm tiếp giá trị b nào đó ( là tần số tương ứng
của a ) rồ bấm phím M+ ( để gọi phím DT )
Sau khi điền hết số liệu , để tính tổng các giá trị x thì ta bấm phím shift 1 (
để gọi phím S - Sum ) , bấm tiếp phím 2 ( để gọi cái biểu tượng chữ E có chữ x
kế bên ) rồi bấm = .
Để tính Số trung bình cộng , ta nhấn phím shift 2 ( để gọi phím S-Var ) rồi bấm
phím 1 có biểu tượng x có dấu gạch ngang trên đầu rồi bấm = .
Còn về phương sai này nọ thì em chưa học tới nên anh ko thể nói được .
Lưu ý : _ Đây là cách giải bài toán thống kê của lớp 7
_ Chỉ có chương trình SD ( thống kê ) và Reg ( hồi quy ) thì ta mới gọi được
các dấu ; và DT và S-Sum , S-Var , chữ chương trình Comp bình thường thì bấm
tới già cũng ko được đâu .
( Có gì sai xin mấy anh chị lớp trên chỉ giáo cho em với
Còn về thuật toán Euclid thì em xin
nói như sau :
Khi chia a cho b ( giả sử đây là phép chia có dư ) dư r thì ta có thể viết
a = bq+r . Có 1 tính chất sau : ( a ; b) = ( b ; r)
Ta viết b và r dưới dạng phân số rồi tìm ƯCLN như cách 1 đã nêu .
Còn nếu không được nữa thì ta phân tích tiếp b = q1.r + r1
Rồi cứ làm như trên thì ta tìm được ƯCLN của a và b .
Trời , sao chả
có ai vào topic này hết vậy . Thui kệ , sau đây em xin mạn phép giới thiệu tiếp
về cách tìm chu kì của thương của phép chia là số thập phân vô hạn tuần hòan
.
Ví dụ : 1 : 23 = 0,04347826 ( kết quả của máy tính )
Đừng bao giờ lầm tưởng đây là 1 số thập phân vô hạn ko tuần hòan , bởi vì phép
chia này có thể viết được dưới dạng phân số 1/23 .
Nhưng , làm sao để tìm được chu kì của phép chia này ? Thật hơi khó , nhưng mà
dễ lắm . Sau khi bấm máy phép chia 1 : 23 = 0,04347826 ; ta ghi vào giấy số
thập phân này ( nhớ bỏ đi con số cuối cùng ) , tức là phải ghi con số 0,0434782
.
Tiếp tục , ta lấy 23 . 0,0434782 rồi lấy 1 trừ đi kết quả vừa tìm được , nó ra
1,4.10^-6
Ta lấy tiếp số 14 chia cho 23 ra được kết quả 0,608695652 , ghi số 60869565
liền sau số 0,0434782 vào giấy ( sau khi đã bỏ con số 2 cuối cùng )
Sau đó , ta tiếp tục lấy 23 . 0,60869565 rồi lấy 14 trừ đi số đó . Ta được
5.10^-8 . Ta lấy 5 chia tiếp cho 23 ra được kết quả 0,217391304 .
Ghi 2173913 liền sau số 0,043478260869565 . Ta tiếp tục lấy 23 . 0,2173913 rồi
lấy 5 trừ đi kết quả vừa tìm được . Ta ra con số 1 . 10^-7 . Nếu lấy 1 chia cho
23 thì ta được kết quả ban đầu . Tức là , ta đã tìm được chu kì của nó .
Vậy , chu kì của nó là 0,(0434782608695652173913)
Chu kì này có 22 chữ số .
Lưu ý : Số chữ số của chu kì ko vượt quá số chia . Như ở trên , số chia là 23
thì chu kì của nó chỉ được từ 1 đến 23 số , không được hơn . Nếu hơn thì tức là
đã sai rùi .
Sau đây là một
số bài tập ứng dụng :
Quy ước : kí hiệu ( a ; b ) là ƯCLN(a;b)
Còn kí hiệu [ a ; b ] là BCNN(a;b)
Tìm ( a ; b ) và [ a ; b ] , biết
a) a = 44625 ; b = 19875
b) a = 2859444 ; b = 7188428244
c) a = 12473310 ; b = 57670
Dãy số Fibonacci là dãy số có đặc điểm : 1 số bất kì trong dãy số đều bằng tổng hai số liền trước nó ( dĩ nhiên số đó không phải là hai số đầu tiên rùi )
Đây là dãy số Fibonacci : 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ... .
Còn dãy số Lucas là dãy số tổng quát của dãy số Fibonacci . Người ta quy ước kí hiệu chữ u là số hạng trong dãy số Fibonacci . Để phân biệt , người ta kí hiệu u{1} ( tức là chữ u mà số 1 nằm ở dưới chân nó ) gọi là số thứ nhất của dãy Fibonacci . Tương tự , u{n} là số thứ n của dãy Fibonacci . Dãy số Lucas có công thức là u{n+1}= u{n} + u{n-1} ( đây được gọi là công thức truy hồi )
Từ dãy số Fibonacci , người ta suy rộng ra nhiều dãy số khác mà trong đó , mỗi số bất kì đều có quan hệ với hai hay nhiều dãy số liền trước nó , quan hệ này được xác định bằng một công thức . Các dãy số đó đều là dãy số Fibonacci suy rộng .
Dãy số Fibonacci suy rộng thường có dạng :
_ u{n+1} = au{n} + bu{n-1} + c
_ u{n+1}^k = au{n}^k + bu{n-1}^k + c
Đó là hai công thức truy hồi đơn giản nhất của dãy Fibonacci suy rộng .
Còn sau đây , em xin mạn phép giới thiệu về 2 lọai công thức trong dãy số Fibonacci , đó là công thức truy hồi và công thức tổng quát :
_ Công thức truy hồi là công thức thể hiện mối quan hệ của bất kì số nào trong dãy số với các số liền trước nó .
_ Công thức tổng quát là công thức chỉ thể hiện duy nhất quan hệ của 1 số bất kì với 1 tổng , 1 tích hay một phép tính của các số thực .
Ví dụ như : u{n+1} = u{n} + u{n-1} là công thức truy hồi
Còn u{n} = 123^n + 123n + 1 là công thức tổng quát
Sau đây , em xin post một ít kiến thức về toán tỉ số phần trăm .
Ví dụ : Một hình chữ nhật có chiều dài giảm đi 2% , chiều rộng tăng lên 3% thì diện tích của nó tăng hay giảm bao nhiêu phần ?
Gọi chiều dài là a , chiều rộng là b .
Theo đề bài , ta có
Diện tích hình chữ nhật lúc sau là S = a( 1 - 2% )b( 1 + 3% )
= ab(1 + 3% - 2% - 3%)
= ab( 1 - 2%)
= ab - 2%ab
Vậy diện tích đã giảm đi 2% .
Sau đây là bài tập cho học sinh lớp 8 :
Cho hình bình hành ABCD có hai đường cao AH và AK ( H thuộc BC , K thuộc CD ) có góc HAK bằng 30 độ . Biết rằng AB = 6 cm , AD = 4 cm . Tính AH và AK
( ặc , bài này là 1 bài trong đề thi máy tính bỏ túi lớp 8 TP Huế đấy . )
Còn đây là bài cho lớp 7 :
Cho tam giác ABC vuông tại A . Biết AB = 3 cm , AC = 4 cm và trọng tâm G . Tính đoạn AG .
Đây là bài lớp 6 :
Cho đoạn thẳng AB và điểm D thuộc đoạn thẳng đó . Lấy Q là trung điểm AD , P là trung điểm DB . Tính đoạn PQ biết AB = 6 cm .
Còn đây là bài tổng hợp 6 , 7 , 8 :
1) Ông Kevin gửi vào ngân hàng hàng tháng một khoản tiền là 2000000 đồng với lãi suất 0,25% mỗi tháng . Biết rằng ổng ko rút tiền lãi ra ( ặc , ngu gì rút ra ) . Hỏi cuối 3 năm sau , ổng rút được số tiền cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu ?
2) Dennis và Kevin cùng lắp 1 mạch điện sau 6 giờ thì xong . Biết rằng nếu làm một mình thì mỗi giờ Kevin lắp mạch điện có năng suất gấp đôi Dennis ( do khoẻ hơn , heheheh ) . Vậy nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ?
Dear pokemon master : Mấy bài của lớp 6 , lớp 7 dễ lắm em à . Ráng làm nha em . Chúc em thành công .
Trời ,sao chả có ai giải bài vậy ?
Thui , để tui gợi ý bài toán lớp 8 ( thực chất phải sử dụng phương pháp giải của lớp 9 )
Như vầy , hình bình hành ABCD có 2 đường cao AH ( H thuộc BC ) và AK ( K thuộc CD ) và góc HAD bằng alpha độ . Ta dễ dàng chứng minh được góc HAK bằng góc ABH
( Tacó AK vuông góc với DC , DC // AB suy ra KAB bằng 90 độ .
Ta lại có KAB lại bằng tổng 2 góc KAH và HAB , suy ra góc KAH + góc HAB = 90độ
Mà góc HAB + góc ABH = 90 độ ( tam giác ABH là tam giác vuông do AH vuông góc BC )
kết hợp hai ý trên ta suy ra góc KAH = góc ABH )
Xét tam giác ABH có góc AHB = 90 độ
=> sin 30độ = sin góc ABH = AH/AB = 0,5
ta tính được AH = AB . 0,5 = 6 . 0,5 = 3 ( cm )
Chứng minh tương tự ta có được AK = 2 cm
Dễ mà sao ko thấy ai làm vậy ?
Còn đây là bài lớp 7 :
Dùng định lý Pythagore ( nhìn vào là thấy bộ ba Pythagore chình ình rùi ) ta suy ra BC = 5 cm
kéo dài AG sao cho nó cắt BC tại E
=> AE là trung tuyến ứng với cạnh huyền
Dễ thấy AE = 1/2 BC Mà AG = 2/3 AE
suy ra AG = 1/3 BC
Mà BC = 5
kết hợp hai ý trên suy ra AG = 5/3( cm ) gần bằng 5,333 cm
Bài lớp 6 thì dễ của dễ :
Dễ thấy PQ = 1/2 AB
Mà AB = 6 cm
Suy ra PQ = 3 cm
* Còn bài tổng hợp 6 , 7 , 8 thì còn dễ ác liệt nữa
bài 1 ra kết quả là 75429223,42 ( đúng ko nhỉ quý vị )
bài 2 thì dễ ẹt , kết quả là Dennis làm trong 1,5 ngày còn Kevin thì làm trong 0,75 ngày
Hic , cái này bạn phải xài đồng dư thức mới làm được .
Bi giờ tui xin giải thích đồng dư là gì trước đã :
Đồng là cùng , dư là số dư . Đồng dư có nghĩa là cùng số dư khi cùng chia cho một số .
a đồng dư với b ( mod c ) có nghĩa là khi a và b cùng chia cho b thì có cùng số dư .
Ví dụ , 7 chia 2 dư 1 , 3 chia 2 cũng dư 1 .
Vậy ta nói 7 đồng dư với 3 ( mod 2 )
Một định lí mở đầu và rất quan trọng là a đồng dư với b ( mod c ) khi và chỉ khi a - b chia hết cho c .
Ví dụ như hời nãy tui nói 7 đồng dư với 3 ( mod 2 )
Ta lấy 7 - 3 = 4 chia hết cho 2 .
Chứng minh :
a : c = q dư r suy ra a = qc +r
b : c = d dư r suy ra b = dc + r
Ta có : a - b = qc + r - dc - r = qc - dc = c(q - d ) chia hết cho c
Một số tính chất quan trọng của đồng dư thức nè :
a đồng dư b ( mod c ) thì a + n đồng dư b + n ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì an đồng dư bn ( mod c )
a đồng dư b ( mod c ) thì a^n đồng dư b^n ( mod c )
Mấy tính chất này xài rất nhiều và cũng rất dễ dàng chứng minh bằng hằng đẳng thức , hoặc bằng các tính chất toán học thông thường để làm .
Nhưng như thế chưa đủ , tui xin cho các bạn định lí sau :
" Số bị chia luôn đồng dư với số dư của 1 phép chia "
Chứng minh :
ta có a : b = q dư c
suy ra a = bq + c
Ta có , c luôn nhỏ hơn b
suy ra c = b.0 + c ( thương = 0 )
vậy a đồng dư c ( mod b )
Chỉ cần ứng dụng những điều trên thì bạn có thể giải các bài toán dạng a^n : b với a^n là một số bự hơn con voi .
Nhưng ngoài ra , có một số bài về luỹ thừa tầng thì ngoài đồng dư thức , ta còn phải sử dụng nhiều phép toán thông minh khác chứ không thể ôm nguyên xi kiến thức về đồng dư này vào làm được .
Đồng dư thức cũng có nhiều ứng dụng trong việc tìm chữ số tận cùng , tìm số dư , chứng minh hằng đẳng thức , bất đẳng thức ...
Mong các bạn có thể tham khảo .
Còn đối với bài tìm số chính xác của 15^10 , 23^9 , 78^8 thì cũng dễ thui . Đây là bài giải của tui về bài 15^10 ( mấy cái kia các bạn làm tương tự là ra , dễ lắm )
Khi bấm máy tính thì màn hình máy tính hiện ra như sau : 15^10 = 5,766503906.10^11
Như vậy , theo em thì số này có 12 chữ số . Nhưng ta sẽ ko lấy số 6 vì số đó ko chính xác ( do máy tính có chức năng tự làm tròn nên số 6 có thể được làm tròn bởi các số sau ) , ta có số sau : 576650390abc
Do số tận cùng của x^y này là số 5 , nên c sẽ là số 5 .
Ta thấy nếu cơ số có số tận cùng là số 5 và số mũ chẵn thì 2 số tận cùng của kết quả là 25 , vì thế nên b = 2
lúc nãy trên máy tính , thì màn hình hiện số 5,766503906 . 10^11
số đứng sau số 6 là số 2 , mà theo quy tắc làm tròn thì số 6 sẽ được giữ nguyên , nên ta dễ dàng suy ra được a = 6
Và số chính xác sẽ là 576650390625
Rất đơn gian phải không nào .
Ngoài ra , số chữ số của a^n bằng [ n.log a] + 1
( Kí hiệu [a] được gọi là phần nguyên của a )
CMR: với mọi tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính đơn vị điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là:
Mà thui , bi giờ thì giải bài của hong_quang_judge trước đi nhé
Tính số chính xác của : 23^9
Dễ thui mà sao chẳng có ai làm thế
Đầu tiên , bấm máy , nó ra như sau : 1,801152661 . 10^12
Theo quy tắc trên , ta đoán được số này có 13 chữ số , đồng thời , do số 1 ko chính xác nên ta bỏ đi con số 1 này . Vậy , ta có con số sau : 180115266abcd . Tuy nhiên , do số cuối là 1 nên có thể a = 1 hoặc a = 0
Theo quy luật , nên số cuối cùng của luỹ thừa này sẽ là số 3 => d = 3
Tiếp tục . Ta có 23^9 = 23^5 . 23^4 = 6436343 . 279841
Để tìm 3 số cuối cùng , ta lấy 343 . 841 = 288463
như vậy b = 4 , c = 6 .
Nếu a = 0 thì b >= 5 , nhưng b<5 => a = 1
vậy số chính xác của 23^9 là 1801152661463
Còn bài 9^1999 chia cho 36 hình như dư 8 thì phải
Ta có : 9 đồng dư 9 ( mod 36 )
suy ra ta có : 9^2 đồng dư 9 ( mod 36 )
9^3 đồng dư 9 ^2 . 9 đồng dư 9 . 9 đồng dư 9 mod 36
9^4 đồng dư 9 mod 36
Tương tự thế ta có 9^n đồng dư 9 mod 36
Hay nói cách khác , 9^n chia 36 dư 9
Đề này hong_quang_judge hình như post sai thì phải , nếu đề đúng thì phải là 9^1999 : 33 dư bi nhiu
Định lí Bơ-zút
Dư của phép chia P(x) chia ( ax + b ) là P(-b/a)
Chứng minh :
Ta có P(x) = ( ax + b).Q(x) + R(x) ( điều hiển nhiên)
Suy ra P(-b/a) = [a.(-b/a) + b ].Q(x) + R(x)
hay nói cách khác , P(-b/a) = R(x)
Nếu P(-b/a) = 0 thì phép chia này là phép chia hết
Tìm số dư của P(x) = 3x^3 + 2x^2 + 4x + 1 khi cha cho 2x - 3
Đặt vấn đề:Tìm ƯCLN(40096920;9474372;5113543Cool
Cơ sở: Tìm ƯCLN(a;b). Giả sử:a>b, ta chia a cho b,được:a=b*k1+a1 (b>a1) hay
a ≡ a1 (mod b).Chia b cho a1,được:b=a1*k2+a2 (a1>a2) hay b ≡ a2 (mod a1)
Lặp lại qua trình trên cho đến khi an+1= 0,khi đó: ƯCLN(a;b)=an
Trên casio FX-570 ES,mặc định chế độ làm tròn FIX 0,sau đó ghi liên tiếp 2 công thức sau lên màn hình (Hai công thức ngăn cách bởi Alpha : )
0/(A-X*Rnd(A/X-0.5)) : A-X*Rnd(A/X-0.5)
Sau khi nhập nhấn Calc,máy hỏi:A? Nhập 40096920 =
X? Nhập 9474372 = = =
(1) A? Nhập Alpha X =
(2) X? Nhập Ans = = =
Lặp lại quá trình (1) và (2) đến khi máy báo “Math ERROR”,lại nhấn
[>](Replay),nhấn tiếp Calc,máy hỏi: A? Nhập 51135438 = X? Nhấn = = =
Lặp lại quá trình (1) và (2) đến khi máy báo “Math ERROR”
Nhấn AC ,nhấn tiếp RCL X ,kết quả X= 678.
Kết luận: ƯCLN(40096920;9474372;5113543Cool = 678